☛ Résoudre l'équation différentielle y'=ay

Énoncé

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{y}{2}}$ .
2. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\prime }+4y=0$ .
3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle  $3y^{\prime }-y=0$ .

Solution

1. Ici, $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ , donc les solutions   sur $\mathbb{R}$ de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $x\mapsto k{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}$ , où $k\in \mathbb{R}$ .

2.  $y^{\prime }+4y=0\iff y^{\prime }=-4y$ .
Ici, $a=-4$ ,   donc les solutions sur $\mathbb{R}$ de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $x\mapsto k{\text{e}}^{-4x}$ , où $k\in \mathbb{R}$ .

3. $3y^{\prime }-y=0\iff y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}y$ .
Ici,  $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ , do nc les solutions sur $\mathbb{R}$ de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme   $x\mapsto k{\text{e}}^{\frac{x}{3}}$ , où $k\in \mathbb{R}$ .